1. Klassischer Beweis daß 0.9periodisch != 1 x = 0.999999... 10x = 9.99999... 10x - 9x = 1 ? Sei z_k die Ziffer a el (0..9) an der k-ten Nachkommastelle einer Zahl z, also z_k = a * 10^-k Betrachten x für k = unendlich. Es gilt nun: x_inf = 9 * 10^-inf => 10x_inf = 9 * 10^-inf * 10^1 = 9 * 10^(-inf+1) Somit ergibt sich eine Differenz von 1 an der Stelle k = unendlich für 10x - x: => 9x = 10x - x = 9.99999... - 0.999999... = 9.00000...1 => 10x - (10x - x) != 1 QED 2. Beweis, daß 0/0 = 1 Betrachten x^n. Besonders n = 0: x^0 = 1. 0 = r - r für alle r, somit x^r/x^r = x^(r-r) = x^0 = 1 Sei x = 0: 1 = 0^0 = 0^(r-r) = 0^r/0^r. Sei r = 1: 0^1/0^1 = 1 = 0/0 QED Beweis mit dem Alternativsatz von __init__: lim_{x->0} x/x = lim_{x->0} 1 = 1 QED 3. Beweis, daß e^x = 0 und 1/x = 0 anhand der Differentialgleichung y*y'' + y'^2 = 1 mit den Anfangswerten y(0) = 1, y'(0) = -1 Lösungsansatz: autonome DGL y'' = (1-y'^2)/y, Substitution v := y' => y'' = v'*v v'*v = (1-v^2)*1/y Trennung der Variablen und integrieren: -1/2*ln|v^2-1| = ln|y| + c => (v^2-1)^(-1/2) = y*e^c c_2 := e^c (*) umformen: 1/(y*c_2) = sqrt(v^2-1) c_3 := 1/c_2 (**) c_3^2/y^2 = v^2-1 v = +/- sqrt(c_3^2/y^2 + 1) y' = v = +/- sqrt(c_3+y^2)/y einsetzen der Anfangswerte: -1 = +/- sqrt(c_3+1)/1 -1 = + sqrt(c_3+1) => keine Lösung -1 = - sqrt(c_3+1) => c_3 = 0 => y' = - sqrt(0+y^2)/y = -y/y = -1 => x + d = int(y' dy) = int(-1 dy) = -y => y = -x + d, einsetzen der Anfangswerte: 1 = -0 + d => d = 1 => y = -x + 1 Lösung der DGL (**) aus c_3 = 0 folgt 1/c_2 = 0 QED (*) c_2 = e^c => c_3 = 1/(e^c) = e^-c, a := -c. aus c_3 = 0 folgt e^a = 0 QED 4. Beweis, daß sqrt(2) eine rationale Zahl ist (geführt von Gastdozent ao.Prof.DDr.audi_yo) [17:58:29] <mathemagier> njo [17:58:50] <mathemagier> 1/x = sqrt(2) [17:59:04] <mathemagier> lol [17:59:13] <mathemagier> ind. angenommen [18:00:46] <mathemagier> 1/sqrt(2) = x [18:00:48] <mathemagier> fertig [18:00:48] <mathemagier> lol [18:01:17] <mathemagier> wobei sqrt(2) element ganze Zahlen [18:01:18] <mathemagier> lol [18:01:21] <mathemagier> ausgezeichnet